здравствуйте, я при помощи кода ниже:
<?php
$result =$con->query("SELECT name_cat FROM category");?>
<p><select name='cus'size="1">
<option id='cus'>Выберите заказчика</option>
<?php while($object = mysqli_fetch_object($result)):?>
<option value ="<?=$object->name_cat?>"><?=$object->name_cat?></option>
<?php endwhile;?>
</select></p>
создала выпадающий список, но выглядит это как 1 картинка, а должно быть 4 строки для выбора 
Ну так значит по каким-то причинам этот цикл не работает. Например, запрос завершился ошибкой, или таблица в БД пустая.
В любой непонятной ситуации надо выводить/логировать всё или пользоваться отладчиком.
Выведите для начала переменную $result куда-нибудь (var_dump, …).
Полезная статья о способах поиска причин ошибок: Как отлаживать маленькие программы.
Еще надо отделять вывод HTML от всего остального типа работы с БД.
https://phptherightway.com/#templating
В идеале должен быть файл-шаблон (либо тоже PHP, либо сторонние шаблонизаторы типа Blade, Twig), которому просто передаются данные.
Ну или тут хотя бы просто в самом начале прочитайте данные из БД в массив и потом выводите его, тогда и отлаживать проще будет.
Есть похожий фрагмент в такой интерпретации
<select name='cus' size="1">
<option id='cus'>Выберите заказчика</option>
<?php
while($object = mysqli_fetch_object($result)){
?>
<option value ="<?php echo $object->name_cat;?>"><?php echo $object->name_cat;?></option>
<?php
}?>
</select>